Modelos populacionais

O enunciado é do livro; a resolução é nossa. Os cinco são de demonstração, e o livro não responde nenhum deles — não há gabarito para conferir, o que é ainda mais razão para tentar antes de abrir.

1. intermediárioa letra miúda da deduçãoBraun §1.5, nº 1

   Prove que $\dfrac{a - bp_0}{a - bp(t)}$ é positivo para $t_0 < t < \infty$.

   Sugestão do livro: use a Equação (2) para mostrar que $p(t)$ nunca pode ser igual a $a/b$ se $p_0 \neq a/b$.

   Dica

   Repare em onde este quociente apareceu no texto: dentro de um logaritmo que, a rigor, deveria estar entre módulos. O que se pede é a licença para apagá-los. E o denominador só zera se $p$ atingir $a/b$.

   Resolução

   Do que se trata. A integração que produz (2) passa por $\int \frac{dr}{r(a-br)}$, cuja primitiva envolve $\ln|r|$ e $\ln|a-br|$. Ou seja, o que a conta entrega de verdade é

   $$a(t - t_0) = \ln\left|\frac{p}{p_0}\cdot\frac{a - bp_0}{a - bp}\right|,$$

   e escrever (2) sem os módulos exige saber que o argumento é positivo. Este exercício é exatamente essa licença — é a letra miúda da dedução, não uma curiosidade à parte.

   O fator $p/p_0$ não dá trabalho: $p_0 > 0$, e $p \equiv 0$ é solução de equilíbrio, de modo que uma solução que começa positiva nunca chega a zero (pelo mesmo argumento de unicidade que vem a seguir). Toda a questão é o sinal de $\frac{a - bp_0}{a - bp}$.

   O argumento. O denominador só se anula se $p(t) = a/b$. Ora, a função constante $p \equiv a/b$ é solução da equação: os dois lados dão zero. Se a nossa solução valesse $a/b$ em algum instante finito $t_1$, ela e a constante passariam pelo mesmo ponto $(t_1,\,a/b)$; como o lado direito $ap - bp^2$ é um polinômio em $p$ — em particular de classe $C^1$, portanto localmente lipschitziano —, o teorema de existência e unicidade obriga as duas a coincidir em toda parte, contradizendo $p_0 \neq a/b$.

   Logo $a - bp(t)$ não se anula em instante algum. Sendo contínuo, ele conserva o sinal que tem em $t = t_0$, isto é, o sinal de $a - bp_0$. Dois números de mesmo sinal têm quociente positivo:

   $$\frac{a - bp_0}{a - bp(t)} > 0 \qquad\text{para todo } t. \qquad \blacksquare$$

   O caminho sugerido pelo livro, que não usa unicidade. Da forma com módulos, suponha que $p(t) \to a/b$. O denominador $a - bp$ tende a zero, o argumento do logaritmo tende a $+\infty$, e portanto $a(t - t_0) \to +\infty$: o valor $a/b$ só seria atingido em tempo infinito. Em qualquer $t$ finito, $a - bp(t)$ ainda não zerou, e a conclusão é a mesma.

   O que isso diz sobre o modelo. A reta $p = K = a/b$ é intransponível dos dois lados: uma população que começa abaixo da capacidade de suporte se aproxima dela sem nunca alcançá-la, e uma que começa acima decresce em direção a ela, também sem tocá-la. É a mesma afirmação da Proposição sobre convergência do tópico — ”$p$ nunca atravessa $K$” —, aqui na versão de que se precisa para que a Equação (2) esteja escrita corretamente.

2. avançadoajuste de parâmetros a dados de censoBraun §1.5, nº 2

   (a) Escolha três instantes $t_0$, $t_1$ e $t_2$, com $t_1 - t_0 = t_2 - t_1$. Mostre que (3) determina $a$ e $b$ de maneira única em termos de $t_0$, $p(t_0)$, $t_1$, $p(t_1)$, $t_2$ e $p(t_2)$.

   (b) Mostre que o período de crescimento acelerado dos Estados Unidos terminou em abril de 1913.

   (c) Seja $p(t)$ uma população que cresce segundo a lei logística (3), e seja $\bar{t}$ o instante em que metade da população limite é atingida. Mostre que

   $$p(t) = \frac{a/b}{1 + \exp\bigl(-a(t - \bar{t})\bigr)}.$$

   Dica

   Os três itens ficam fáceis na variável $u = 1/p$: nela a logística vira uma equação linear. Em (a), o espaçamento igual faz de $u_0 - b/a$, $u_1 - b/a$, $u_2 - b/a$ uma progressão geométrica. Em (b), 'crescimento acelerado' termina no ponto de inflexão.

   Resolução

   A troca de variável que organiza tudo. Seja $u = 1/p$. Então

   $$\frac{du}{dt} = -\frac{p'}{p^2} = -\frac{ap - bp^2}{p^2} = -\frac{a}{p} + b = -a\,u + b:$$

   na variável recíproca, a logística é uma equação linear de primeira ordem. Sua solução, com $\beta := \frac{b}{a} = \frac{1}{K}$, é

   $$u(t) - \beta = \bigl(u_0 - \beta\bigr)\exp\bigl(-a(t - t_0)\bigr). \tag{$\star$}$$

   Isto é: a distância de $1/p$ até $1/K$ decai exponencialmente. Invertendo $(\star)$ recupera-se (3), e os três itens do exercício são consequências dela.

   ---

   (a) Determinação de $a$ e $b$. Sejam $T = t_1 - t_0 = t_2 - t_1$, $u_i = 1/p(t_i)$ e $q = \exp(-aT)$. Aplicando $(\star)$ nos dois intervalos,

   $$u_1 - \beta = (u_0 - \beta)\,q, \qquad u_2 - \beta = (u_0 - \beta)\,q^2,$$

   ou seja, $u_0 - \beta$, $u_1 - \beta$, $u_2 - \beta$ formam uma progressão geométrica — é para isso que serve o espaçamento igual. Logo o termo do meio é a média geométrica dos outros:

   $$(u_1 - \beta)^2 = (u_0 - \beta)(u_2 - \beta).$$

   Expandindo, os termos $\beta^2$ se cancelam e sobra uma equação linear em $\beta$:

   $$\beta\,(2u_1 - u_0 - u_2) = u_1^2 - u_0u_2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{b}{a} = \beta = \frac{u_1^2 - u_0u_2}{2u_1 - u_0 - u_2}.$$

   Determinado $\beta$, a razão sai de $q = \dfrac{u_1 - \beta}{u_0 - \beta}$, e daí

   $$a = \frac{1}{T}\ln\!\left(\frac{u_0 - \beta}{u_1 - \beta}\right), \qquad b = a\beta.$$

   Os dois ficam determinados, e de maneira única — que é o que se pedia.

   Quando a conta falha, e por quê. O único obstáculo é $2u_1 = u_0 + u_2$. Pelo que está acima, isso equivale a $(u_0 - \beta)(q-1)^2 = 0$, isto é, a $q = 1$ (ou seja $a = 0$) ou a $p_0 = K$. Nos dois casos a população observada é constante — e de três medidas iguais não se extraem dois parâmetros. Fora dessas degenerescências, três censos igualmente espaçados bastam.

   Em termos das populações. Passando $u_i = 1/p_i$ para dentro,

   $$K = \frac{a}{b} = \frac{p_1\,(2p_0p_2 - p_0p_1 - p_1p_2)}{p_0p_2 - p_1^2}.$$

   A conta de Pearl e Reed. É este o cálculo que produziu os números do tópico. Tomando o censo americano de $1790$, $1850$ e $1910$ — igualmente espaçados por $T = 60$ anos —,

   $$p_0 = 3{,}929\times 10^{6}, \qquad p_1 = 23{,}192\times 10^{6}, \qquad p_2 = 91{,}972\times 10^{6},$$

   a fórmula acima dá

   $$K = \frac{a}{b} = 197\,273\,583 \approx 197{,}3\ \text{milhões},$$

   e então $q \approx 0{,}152533$,

   $$a = \frac{1}{60}\ln\frac{1}{q} \approx 0{,}0313395\ \text{ao ano}, \qquad b = \frac{a}{K} \approx 1{,}5886 \times 10^{-10},$$

   exatamente os valores que o tópico cita — $197{,}273{,}000$ de população limite, $a = 0{,}03134$ e $b = 1{,}5887\times 10^{-10}$, este último com o último algarismo arredondado para cima. Note o que aconteceu: dois parâmetros foram extraídos de três pontos, sem mínimos quadrados e sem nenhum ajuste — a curva passa exatamente pelos três censos escolhidos, e é por isso que a Tabela 2 do texto tem erro $0$ nos anos $1790$, $1850$ e $1910$.

   ---

   (b) O fim do crescimento acelerado. “Crescimento acelerado” é o trecho em que $p'$ ainda está aumentando, e ele termina no ponto de inflexão, onde $p = K/2$ — é a Proposição sobre o ponto de inflexão do tópico. Em termos de $u$, a condição $p = K/2$ é $u = 2\beta$. Levando a $(\star)$:

   $$\beta = (u_0 - \beta)\exp\bigl(-a(\bar{t} - t_0)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \bar{t} = t_0 + \frac{1}{a}\ln\!\left(\frac{u_0 - \beta}{\beta}\right) = t_0 + \frac{1}{a}\ln\!\left(\frac{K}{p_0} - 1\right).$$

   Com os valores do item (a) e $t_0 = 1790$:

   $$\frac{K}{p_0} - 1 = \frac{197{,}27}{3{,}929} - 1 \approx 49{,}21, \qquad \bar{t} = 1790 + \frac{\ln 49{,}21}{0{,}03134} \approx 1790 + 124{,}3,$$

   isto é,

   $$\boxed{\;\bar{t} \approx 1914{,}32\;}$$

   e $0{,}32$ de ano são cerca de quatro meses: fim de abril de 1914.

   Sobre a data do enunciado. O livro pede para mostrar “abril de 1913”, e escreve $1913{,}25$ na Equação (5) da seção. O mês está certo e o ano não — com os próprios $a$ e $b$ que a seção deduz, dá $1914{,}3$. Três conferências:

   • A Tabela 2 do texto prevê $91{,}972$ milhões em $1910$ e $107{,}559$ milhões em $1920$. Metade da população limite é $98{,}6$ milhões, que cai entre os dois, perto de $1914{,}3$ — e não em $1913{,}25$, que é anterior ao primeiro.
   • Substituindo $\bar{t} = 1914{,}32$ na fórmula do item (c), reproduz-se a tabela do texto ao milhar: $1800 \to 5\,336\,000$ (tabela: $5\,336\,000$), $1830 \to 13\,109\,000$ ($13\,109\,000$), $1900 \to 76\,870\,000$ ($76\,870\,000$). Com $\bar{t} = 1913{,}25$, o valor de $1830$ daria $13\,525\,000$ — $3{,}2\%$ fora.
   • A curva publicada por Pearl e Reed em 1920 é $p = \dfrac{197\,273\,000}{1 + \exp[-0{,}0313395\,(t - 1914{,}32)]}$.

   Ou seja: o método do enunciado está certo, a resposta é abril de 1914, e a data impressa é uma errata. Vale registrar que o valor $0{,}0313395$ de Pearl e Reed sai com todos os algarismos da fórmula do item (a) — o que também confere o item (a).

   ---

   (c) A forma sigmoide. Por definição de $\bar{t}$, temos $u(\bar{t}) = 2\beta$, e o cálculo do item (b) deu $u_0 - \beta = \beta\exp\bigl(a(\bar{t}-t_0)\bigr)$. Levando isso a $(\star)$:

   $$u(t) = \beta + \beta\exp\bigl(a(\bar{t}-t_0)\bigr)\exp\bigl(-a(t-t_0)\bigr) = \beta\left[1 + \exp\bigl(-a(t - \bar{t})\bigr)\right].$$

   Invertendo, e lembrando que $1/\beta = a/b$,

   $$\boxed{\;p(t) = \frac{a/b}{1 + \exp\bigl(-a(t - \bar{t})\bigr)}\;} \qquad \blacksquare$$

   Por que esta é a forma boa. Sumiram $p_0$ e $t_0$, e sobraram três constantes com significado separado: $K = a/b$ é a escala vertical, $1/a$ é a escala de tempo e $\bar{t}$ é a origem do tempo. Toda logística é a mesma curva, vista com esses três ajustes — não há uma família de formatos, há um só.

   E ela exibe uma simetria que a forma (3) esconde: para todo $s$,

   $$p(\bar{t}+s) + p(\bar{t}-s) = \frac{a}{b}\left[\frac{1}{1+e^{-as}} + \frac{1}{1+e^{as}}\right] = \frac{a}{b},$$

   de modo que a curva é simétrica pelo ponto $(\bar{t},\,K/2)$. A segunda metade do crescimento é a primeira de cabeça para baixo — e é por isso que o ponto de inflexão cai exatamente na metade da população limite, e não em algum lugar arbitrário.

3. básicoum dado que derruba MalthusBraun §1.5, nº 4

   Suponha que uma população dobra o seu tamanho original em $100$ anos e o triplica em $200$ anos. Mostre que essa população não pode satisfazer a lei malthusiana de crescimento populacional.

   Dica

   No modelo malthusiano, o que acontece nos primeiros cem anos já decide o que acontece nos segundos — não sobra parâmetro para ajustar.

   Resolução

   A conta. A lei malthusiana é $\frac{dp}{dt} = ap$, cuja solução com $p(0) = p_0$ é $p(t) = p_0 e^{at}$. A primeira informação dá

   $$p(100) = 2p_0 \quad\Longrightarrow\quad e^{100a} = 2.$$

   Mas então o valor em $t = 200$ está determinado, sem nenhuma liberdade:

   $$p(200) = p_0e^{200a} = p_0\bigl(e^{100a}\bigr)^2 = 4p_0.$$

   O enunciado diz $3p_0$. Como $4 \neq 3$, não existe $a$ algum que sirva. $\blacksquare$

   O que de fato falhou. Não foi o valor de $a$: foi a estrutura do modelo. No crescimento exponencial o fator de multiplicação num intervalo depende só da duração do intervalo, nunca de onde ele começa — que é precisamente o exercício 5 desta lista. Dobrar no primeiro século obriga, por isso, a quadruplicar em dois. O primeiro dado já consumiu o único parâmetro disponível; o segundo é um a mais do que um modelo de um parâmetro pode acomodar.

   Dito com logaritmos: o malthusiano exige que $\ln p$ seja afim em $t$, ou seja, que os três pontos

   $$(0,\ \ln p_0), \qquad (100,\ \ln p_0 + \ln 2), \qquad (200,\ \ln p_0 + \ln 3)$$

   sejam colineares — o que pediria $\ln 3 = 2\ln 2$, isto é, $3 = 4$. E a desigualdade tem direção: $\ln 3 \approx 1{,}099$ é menor que $2\ln 2 \approx 1{,}386$. A população cresceu menos do que o exponencial previa, isto é, a taxa per capita caiu — que é exatamente o que o termo de competição da logística descreve.

   O que estes dados de fato são. Como são três medidas igualmente espaçadas ($T = 100$), o exercício 2(a) se aplica. Com $u_0 = \frac{1}{p_0}$, $u_1 = \frac{1}{2p_0}$ e $u_2 = \frac{1}{3p_0}$:

   $$\beta = \frac{u_1^2 - u_0u_2}{2u_1 - u_0 - u_2} = \frac{\frac14 - \frac13}{1 - 1 - \frac13}\cdot\frac{1}{p_0} = \frac{-\frac{1}{12}}{-\frac13}\cdot\frac{1}{p_0} = \frac{1}{4p_0},$$

   logo $K = 4p_0$; e

   $$q = \frac{u_1 - \beta}{u_0 - \beta} = \frac{\frac12 - \frac14}{1 - \frac14} = \frac13, \qquad a = \frac{1}{100}\ln 3 \approx 0{,}01099 \ \text{ao ano}.$$

   Pela fórmula do exercício 2(b), $\bar{t} = \frac{1}{a}\ln\bigl(\frac{K}{p_0}-1\bigr) = \frac{100}{\ln 3}\ln 3 = 100$ anos. Conferindo na forma sigmoide:

   $$p(0) = \frac{4p_0}{1 + 3} = p_0, \qquad p(100) = \frac{4p_0}{1+1} = 2p_0, \qquad p(200) = \frac{4p_0}{1 + \frac13} = 3p_0. \;\checkmark$$

   Os mesmos dados que refutam o malthusiano determinam exatamente uma logística — e ela prevê que a população se estabilize em quatro vezes o tamanho inicial, com o crescimento mais rápido justamente no ano $100$.

4. básicoa assinatura do crescimento exponencialBraun §1.5, nº 5

   Assuma que $p(t)$ satisfaz a lei malthusiana de crescimento populacional. Mostre que os acréscimos de $p$ em intervalos de tempo sucessivos de igual duração formam os termos de uma progressão geométrica.

   Esta é a origem do famoso dito de Thomas Malthus: “a população, quando não contida, cresce em razão geométrica; a subsistência cresce apenas em razão aritmética. Uma ligeira familiaridade com números mostrará a imensidão da primeira potência em comparação com a segunda.”

   Dica

   Escreva o acréscimo do $n$-ésimo intervalo e ponha em evidência o que não depende de $n$.

   Resolução

   A conta. Com $p(t) = p_0\exp\bigl(a(t-t_0)\bigr)$, fixe uma duração $h > 0$ e considere os acréscimos sobre os intervalos sucessivos $[t_0 + (n-1)h,\; t_0 + nh]$:

   $$\Delta_n = p\bigl(t_0 + nh\bigr) - p\bigl(t_0 + (n-1)h\bigr) = p_0e^{a(n-1)h}\left(e^{ah} - 1\right).$$

   O segundo fator não depende de $n$. Logo

   $$\Delta_n = \Delta_1\,r^{\,n-1}, \qquad r = e^{ah}, \qquad \Delta_1 = p_0\left(e^{ah}-1\right):$$

   progressão geométrica de razão $e^{ah}$. $\blacksquare$

   Repare na razão. Ela é a mesma da própria população, $\frac{p(t+h)}{p(t)} = e^{ah}$. Os acréscimos crescem exatamente no mesmo ritmo do que cresce — é outra maneira de dizer que o modelo não tem escala nenhuma: um intervalo de $h$ anos faz a mesma coisa em qualquer época, com qualquer tamanho de população. Essa é a assinatura do exponencial, e é o que o exercício 4 confronta com dados.

   De fato, o exercício 4 é este aqui, contado com acréscimos: com $h = 100$ a razão é $r = 2$, então $\Delta_1 = p_0$ e $\Delta_2 = 2p_0$, e portanto $p(200) = p_0 + p_0 + 2p_0 = 4p_0$ — o mesmo $4p_0$, obtido sem escrever nenhuma exponencial.

   O dito de Malthus. A “razão aritmética” da subsistência é a mesma frase com progressão aritmética no lugar da geométrica: acréscimos constantes, $\Delta_n \equiv c$, o que corresponde a $q(t) = q_0 + ct$ — crescimento linear, $\frac{dq}{dt} = c$. Postos lado a lado,

   $$p_0\,r^{\,n} \qquad\text{contra}\qquad q_0 + cn,$$

   e, sejam quais forem as constantes, a primeira acaba passando a segunda: é todo o argumento de Malthus, e ele é uma afirmação sobre exponencial contra reta, não sobre biologia ou agricultura.

   O que a seção acrescenta é a ressalva: a conclusão depende de a hipótese exponencial valer para sempre. O exercício 4 exibe dados que já a violam em dois séculos.

   Uma observação sobre a recíproca. A propriedade, para um $h$ fixo, é mais fraca do que ser malthusiano: dela sai apenas que $p(t_0 + nh) = A + Br^n$ nos pontos da grade, e o malthusiano é o caso $A = 0$. Para caracterizar o exponencial é preciso exigi-la de todo $h$.

5. intermediárioquando a/b vira um limiar de extinçãoBraun §1.5, nº 12

   Há classes importantes de organismos cuja taxa de natalidade não é proporcional ao tamanho da população. Suponha, por exemplo, que cada membro da população precise de um parceiro para se reproduzir e que dependa de encontros ao acaso para achá-lo. Se o número esperado de encontros é proporcional ao produto do número de machos pelo de fêmeas, e se estes estão igualmente distribuídos na população, então o número de encontros — e portanto também a taxa de natalidade — é proporcional a $p^2$. A taxa de mortalidade continua proporcional a $p$. Consequentemente, $p(t)$ satisfaz

   $$\frac{dp}{dt} = b\,p^2 - a\,p, \qquad a, b > 0.$$

   Mostre que $p(t) \to 0$ quando $t \to \infty$ se $p_0 < a/b$. Assim, uma vez que a população caia abaixo do tamanho crítico $a/b$, ela tende à extinção — e uma espécie é classificada como ameaçada quando o seu tamanho atual está perigosamente próximo do seu tamanho crítico.

   Dica

   Fatore o lado direito e localize os equilíbrios. É a logística com os dois sinais trocados — e o que lá era um teto, aqui é um piso.

   Resolução

   A equação é a logística com os sinais trocados. Fatorando,

   $$\frac{dp}{dt} = b\,p\left(p - \frac{a}{b}\right) = -\bigl(ap - bp^2\bigr).$$

   Os equilíbrios são os mesmos de sempre, $p = 0$ e $p_c := a/b$, mas trocaram de papel: na logística, $a/b$ é a capacidade de suporte, para a qual tudo converge; aqui é um limiar, do qual tudo se afasta. Um teto virou um piso.

   Argumento qualitativo — já basta para o que se pede. Suponha $0 < p_0 < p_c$. Enquanto $0 < p < p_c$, o fator $p - p_c$ é negativo e $p > 0$, logo $p' < 0$: a população decresce. Ela não pode chegar a zero, porque $p \equiv 0$ é solução e o lado direito é polinomial em $p$ — mesmo argumento de unicidade do exercício 1 —, nem pode subir de volta até $p_c$, já que é decrescente. Fica presa em $(0, p_0)$, decrescente e limitada inferiormente, portanto converge para algum $L \in [0,\,p_0)$.

   Esse limite tem de ser um equilíbrio: se fosse $L > 0$, teríamos $p'(t) \to bL(L - p_c) < 0$, e uma função cuja derivada tende a um número negativo não pode convergir. O único equilíbrio em $[0, p_0)$ é o zero, logo $L = 0$. $\blacksquare$

   A solução explícita. Separando e decompondo,

   $$\frac{1}{p\,(bp - a)} = \frac{1}{a}\left[\frac{b}{bp-a} - \frac{1}{p}\right],$$

   e integrando de $t_0$ a $t$ dentro da faixa $0 < p < a/b$, onde $a - bp > 0$:

   $$\frac{a - bp}{p} = \frac{a - bp_0}{p_0}\exp\bigl(a(t-t_0)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad p(t) = \frac{a\,p_0}{b\,p_0 + (a - b\,p_0)\exp\bigl(+a(t-t_0)\bigr)}.$$

   É a Equação (3) com $a \mapsto -a$ e $b \mapsto -b$ — o único vestígio da troca de sinais é o expoente positivo. Como $p_0 < a/b$, o coeficiente $a - bp_0$ é positivo, o denominador cresce sem limite e $p \to 0$, o que dá a mesma conclusão por outro caminho. Melhor ainda, dá a taxa:

   $$p(t) \approx \frac{a\,p_0}{a - b\,p_0}\,\exp\bigl(-a(t-t_0)\bigr) \qquad (t \text{ grande}),$$

   extinção exponencial com expoente $a$ — a taxa de mortalidade pura. Faz sentido: quando $p$ é pequeno, o termo de natalidade $bp^2$ é desprezível diante de $ap$, e o que resta é morrer.

   O outro lado do limiar. Se $p_0 > a/b$, então $a - bp_0 < 0$ e o denominador se anula em

   $$t^{*} = t_0 + \frac{1}{a}\ln\!\left(\frac{b\,p_0}{b\,p_0 - a}\right) > t_0,$$

   isto é, a população vai a infinito em tempo finito. Nada a segura: o termo de natalidade $p^2$ ultrapassa o de mortalidade $p$ e a distância só aumenta. Num modelo realista haveria competição para conter isso — mas a dicotomia é verdadeira e é o ponto do exercício: $a/b$ é um divisor de águas, com extinção de um lado e disparada do outro, e o próprio $p_0 = a/b$ é um equilíbrio instável.

   De onde vem o $p^2$. É a mesma contagem de pares que produz o termo quadrático da equação logística, com o sinal contrário: lá os encontros são disputas por recursos e freiam o crescimento; aqui são encontros reprodutivos e o aceleram. Uma única hipótese combinatória, dois modelos com comportamentos opostos.

   E a leitura do enunciado é a que importa na prática: uma espécie ameaçada não é a que tem poucos indivíduos, é a que está perto do seu tamanho crítico. Abaixo dele, proteger indivíduos não basta — o que falhou foi o mecanismo de encontro, e o modelo diz que a queda continua sozinha.