Equações exatas

Quando a equação já é a derivada de alguma coisa — e o teste que revela isso.

Ordem: 1ª
Tipo: linear e não linear
Métodos: exatas, fator integrante

Os métodos vistos até aqui têm todos a mesma forma: reconheça o tipo, aplique o procedimento. Separável? Separe. Linear? Fator integrante. O tópico de agora é diferente, e por dois motivos.

O primeiro é que ele oferece um teste — uma conta de duas derivadas parciais que decide, sem tentativa e erro, se um procedimento vai funcionar. O segundo é que ele é o último. Depois dele, a lista de métodos elementares acaba, e as equações não.

A forma diferencial

Antes do método, uma mudança de notação que muda o ponto de vista.

Quando a equação já é uma derivada

Demonstração— soluções de uma equação exata

Seja $y(x)$ uma solução. Pela regra da cadeia,

\frac{d}{dx}\Bigl[\varphi\bigl(x, y(x)\bigr)\Bigr] = \frac{\partial\varphi}{\partial x} + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{dy}{dx} = M + N\,\frac{dy}{dx} = 0,

a última igualdade sendo a própria equação. Uma função de derivada nula num intervalo é constante, logo $\varphi(x,y(x)) = c$ .

Reciprocamente, se $\varphi(x,y) = c$ define implicitamente $y$ como função de $x$ numa vizinhança — o que o teorema da função implícita garante onde $\partial\varphi/\partial y = N \neq 0$ —, derivar a identidade devolve $M + N y' = 0$ .

Fim da demonstração.

O teste de exatidão

O problema é que a definição não é operacional: ela pede a existência de um $\varphi$ que ninguém sabe se existe. O teorema a seguir troca essa pergunta por uma conta.

Demonstração— teste de exatidão (necessidade)

Suponha a equação exata, com potencial $\varphi$ . Então

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial^2\varphi}{\partial y\,\partial x}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x\,\partial y}.

As duas derivadas mistas são contínuas, por hipótese sobre $M$ e $N$ , e o teorema de Schwarz garante que derivadas mistas contínuas comutam. Logo são iguais.

A recíproca é construtiva: o procedimento da próxima seção, aplicado a uma equação que passa no teste, produz o potencial. Que o procedimento não falhe é precisamente o que a condição $M_y = N_x$ assegura.

Fim da demonstração.

Observação

A hipótese de $R$ ser um retângulo não é decoração. Em

\frac{-y}{x^2+y^2}\,dx + \frac{x}{x^2+y^2}\,dy = 0,

um cálculo direto dá $M_y = N_x = (y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2$ — o teste passa em todo o plano furado na origem. Ainda assim não existe $\varphi$ definida em toda essa região: o candidato natural é o ângulo polar $\theta = \arctan(y/x)$ , que cresce de $2\pi$ a cada volta em torno da origem e portanto não é função.

Localmente, em qualquer retângulo que não contenha a origem, o potencial existe. Globalmente, não. A distinção entre local e global aparece aqui pela primeira vez no curso, e é a mesma que separa o teorema de existência e unicidade — sempre local — de qualquer afirmação sobre o comportamento em todo o plano.

Reconstruir o potencial

O procedimento é uma integração parcial seguida de um ajuste.

(2xy + 3)\,dx + (x^2 - 1)\,dy = 0

y(0) = 2

Métodoexatas

$M = 2xy + 3, \qquad N = x^2 - 1$
Identificação. A equação já veio em forma diferencial; basta ler $M$ e $N$ . forma diferencial
$\frac{\partial M}{\partial y} = 2x = \frac{\partial N}{\partial x}$
O teste. As duas derivadas coincidem, então existe potencial e o procedimento vai funcionar. teste exatidao
$\varphi(x,y) = \int (2xy + 3)\,dx = x^2 y + 3x + h(y)$
Integrando $M$ em relação a $x$ , com $y$ tratado como constante. A 'constante' de integração é qualquer função de $y$ — derivar em $x$ a mata do mesmo jeito.
$x^2 + h'(y) = x^2 - 1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -1$
Agora impomos a segunda condição da definição, $\varphi_y = N$ . É este passo que determina $h$ , e é aqui que o teste de exatidão paga: sem ele, sobraria um $x$ na equação para $h'(y)$ , que é impossível de satisfazer. exata
$h(y) = -y \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y) = x^2y + 3x - y$
Integrando. A constante de $h$ pode ser tomada nula, porque ela seria absorvida pela constante $c$ do próximo passo.
$x^2 y + 3x - y = c$
A solução geral são as curvas de nível de $\varphi$ . solucoes implicitas
$c = -2$
A condição inicial: em $(0, 2)$ , o lado esquerdo vale $0 + 0 - 2$ .
$\boxed{\;y(x) = \frac{3x + 2}{1 - x^2}, \qquad -1 < x < 1\;}$
Aqui dá para isolar $y$ , o que nem sempre acontece. Note o denominador: a solução explode em $x = \pm 1$ , e o intervalo de validade do PVI é $(-1, 1)$ .

Passe o cursor para ver a solução por um ponto; clique para fixá-la.Toque no gráfico para fixar a solução que passa pelo ponto.

Quando o teste falha: o fator integrante

Se $M_y \neq N_x$ , ainda resta a liberdade de reescrita: multiplicar a equação por uma função $\mu(x,y)$ não muda suas soluções, mas muda $M$ e $N$ — e pode tornar exata uma equação que não era.

Impor exatidão a $\mu M\,dx + \mu N\,dy = 0$ significa exigir $(\mu M)_y = (\mu N)_x$ , ou seja

\mu_y\,M - \mu_x\,N = \mu\,(N_x - M_y).

Demonstração— fator integrante de uma variável

Procurando $\mu = \mu(x)$ , tem-se $\mu_y = 0$ , e a condição de exatidão vira

-\mu'(x)\,N = \mu\,(N_x - M_y) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mu'}{\mu} = \frac{M_y - N_x}{N}.

O lado esquerdo é função de $x$ apenas; a hipótese é justamente a de que o direito também é. A equação resultante é separável, e integrar dá $\ln\mu = \int \frac{M_y-N_x}{N}\,dx$ .

O caso $\mu = \mu(y)$ é idêntico, com $\mu_x = 0$ .

Fim da demonstração.

Exemplo(Uma equação que precisa de fator)#

Considere

(3xy + y^2)\,dx + (x^2 + xy)\,dy = 0.

O teste falha: $M_y = 3x + 2y$ e $N_x = 2x + y$ , diferentes.

Mas o quociente colabora:

\frac{M_y - N_x}{N} = \frac{x + y}{x^2 + xy} = \frac{x+y}{x\,(x+y)} = \frac{1}{x},

função só de $x$ . Logo $\mu = \exp\left(\int dx/x\right) = x$ .

Multiplicando por $x$ : a equação vira $(3x^2y + xy^2)\,dx + (x^3 + x^2y)\,dy = 0$ , e agora $M_y = 3x^2 + 2xy = N_x$ . ✓

Reconstruindo: $\varphi = \int (3x^2y + xy^2)\,dx = x^3y + \frac{x^2y^2}{2} + h(y)$ , e $\varphi_y = x^3 + x^2y + h'(y) = N$ força $h' = 0$ . A solução geral é

x^3 y + \frac{x^2y^2}{2} = c.

Observação

Aqui a peça se encaixa no resto do curso. Tome a equação linear geral, $y' + a(x)y = b(x)$ , e escreva-a em forma diferencial:

\bigl(a(x)y - b(x)\bigr)\,dx + dy = 0.

Então $M_y = a(x)$ , $N_x = 0$ e $N = 1$ , de modo que $(M_y - N_x)/N = a(x)$ — função de $x$ só. A proposição devolve

\mu(x) = \exp\left(\int a(x)\,dx\right),

que é exatamente o fator integrante do tópico de equações lineares.

Não são dois métodos com o mesmo nome por coincidência: o fator integrante do caso linear é o caso particular de uma ideia mais geral. E o mesmo vale para as separáveis — ver o exercício avançado.

Por que não sabemos resolver quase nenhuma equação

O título da seção correspondente do livro é uma afirmação forte, e ela merece ser levada a sério: Braun (1993), §1.9, p. 58.

O argumento tem três camadas.

Primeira: o fator integrante existe, mas não se acha. Sob hipóteses brandas, prova-se que toda equação de primeira ordem admite fator integrante localmente. Isso parece ótimo até se notar que encontrá-lo exige resolver a EDP acima — e não há método geral para isso. A existência é um teorema; o cálculo, não.

Segunda: existir solução não é o mesmo que ter fórmula. O teorema de existência e unicidade garante que a solução do PVI existe e é única sob condições fracas. Ele não afirma, em momento algum, que essa solução se escreva com as funções que conhecemos.

Terceira: as equações interessantes raramente colaboram. As equações que aparecem em modelos — logística com colheita e sazonalidade, pêndulo sem aproximação de ângulo pequeno, três corpos — não são separáveis, nem lineares, nem exatas.

Exercícios

O terceiro exercício mostra que separáveis e lineares são casos particulares de exatas — é a arrumação retrospectiva do módulo inteiro.

básicoteste e reconstruçãono espírito de Braun §1.9
Verifique que
$(2x + y^2)\,dx + (2xy - 3)\,dy = 0$
é exata e encontre a solução que passa por $(1, 2)$ .
Dica
Integre $M$ em $x$ e não esqueça do $h(y)$ . Depois imponha $\varphi_y = N$ .
Resolução
Teste. $M_y = 2y$ e $N_x = 2y$ . Iguais, logo exata. ✓
Potencial.
$\varphi = \int (2x + y^2)\,dx = x^2 + xy^2 + h(y).$
Impondo $\varphi_y = N$ :
$2xy + h'(y) = 2xy - 3 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -3 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -3y.$
Portanto $\varphi(x,y) = x^2 + xy^2 - 3y$ , e a solução geral é
$x^2 + x y^2 - 3y = c.$
Condição inicial. Em $(1,2)$ : $1 + 4 - 6 = -1$ , logo
$x^2 + x y^2 - 3y = -1.$
Sobre deixar implícito. Aqui dá para isolar $y$ pela fórmula quadrática, mas o resultado é feio e exige escolher o ramo certo pela condição inicial. A forma implícita é uma resposta legítima e frequentemente preferível: ela descreve a curva inteira, sem se comprometer com qual pedaço é gráfico de função.
intermediáriofator integrante em yno espírito de Braun §1.9
Mostre que
$y\,dx + \bigl(2x - y\exp(y)\bigr)\,dy = 0$
não é exata, encontre um fator integrante que dependa apenas de $y$ e resolva a equação.
Dica
Teste primeiro o quociente $(M_y - N_x)/N$ ; se ele depender de $y$ , tente o outro, $(N_x - M_y)/M$ .
Resolução
Teste. $M_y = 1$ e $N_x = 2$ : não é exata.
Escolha do quociente. Tentando $\mu(x)$ :
$\frac{M_y - N_x}{N} = \frac{-1}{2x - y\exp(y)},$
que depende de $x$ e de $y$ — não serve. Tentando $\mu(y)$ :
$\frac{N_x - M_y}{M} = \frac{2 - 1}{y} = \frac{1}{y},$
função só de $y$ . ✓
O fator. $\mu(y) = \exp\left(\int dy/y\right) = y$ .
Multiplicando: $y^2\,dx + \bigl(2xy - y^2\exp(y)\bigr)\,dy = 0$ . Agora $M_y = 2y = N_x$ . ✓
Potencial. $\varphi = \int y^2\,dx = xy^2 + h(y)$ , e
$\varphi_y = 2xy + h'(y) = 2xy - y^2\exp(y) \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -y^2\exp(y).$
Integrando duas vezes por partes, $\int y^2\exp(y)\,dy = (y^2 - 2y + 2)\exp(y)$ , logo $h(y) = -(y^2-2y+2)\exp(y)$ e
$x y^2 - (y^2 - 2y + 2)\exp(y) = c.$
Confira. Derive implicitamente e verifique que devolve a equação multiplicada por $y$ — o que é a mesma equação onde $y \neq 0$ . A reta $y = 0$ foi introduzida como solução espúria pelo fator: é o preço de multiplicar por algo que se anula.
avançadounificação dos métodosno espírito de Braun §1.9
Mostre que os dois métodos anteriores do módulo são casos particulares deste.
(a) Escreva uma equação separável $y' = g(x)h(y)$ em forma diferencial de modo que ela seja exata sem precisar de fator nenhum.
(b) Mostre que a equação linear $y' + a(x)y = b(x)$ se torna exata ao ser multiplicada por $\mu(x) = \exp\left(\int a\,dx\right)$ , e identifique o potencial $\varphi$ .
(c) O que isso diz sobre a hierarquia dos métodos do módulo?
Dica
Em (a), divida por $h(y)$ antes de escrever a forma diferencial. Em (b), calcule $\varphi$ e compare com a expressão $\mu y$ que aparecia no método linear.
Resolução
(a) Partindo de $dy/dx = g(x)h(y)$ e dividindo por $h(y)$ — que é o passo de sempre, com a mesma hipótese $h \neq 0$ :
$g(x)\,dx - \frac{1}{h(y)}\,dy = 0,$
isto é, $M = g(x)$ e $N = -1/h(y)$ . Então
$M_y = 0 \qquad\text{e}\qquad N_x = 0,$
porque $M$ não tem $y$ e $N$ não tem $x$ . O teste passa trivialmente.
O potencial é $\varphi(x,y) = \int g(x)\,dx - \int \frac{dy}{h(y)}$ , e $\varphi = c$ é exatamente a igualdade que o método de separação produz.
(b) Multiplicando $\bigl(a(x)y - b(x)\bigr)dx + dy = 0$ por $\mu$ :
$\mu(x)\bigl(a(x)y - b(x)\bigr)\,dx + \mu(x)\,dy = 0.$
Teste: $M_y = \mu a$ e $N_x = \mu'$ . Como $\mu' = a\mu$ por construção do fator integrante, os dois são iguais. ✓
Potencial: $\varphi = \int \mu\,dy = \mu(x)\,y + h(x)$ , e impor $\varphi_x = M$ dá
$\mu' y + h'(x) = \mu a y - \mu b \quad\Longrightarrow\quad h'(x) = -\mu(x)b(x),$
usando de novo $\mu' = a\mu$ . Logo
$\varphi(x,y) = \mu(x)\,y - \int \mu(x)b(x)\,dx,$
e $\varphi = c$ é $\mu y = \int \mu b\,dx + c$ — literalmente o resultado do método linear, que se obtinha reconhecendo $\mu y$ como derivada de um produto.
(c) Os três métodos não são três ideias: são uma. “Reconhecer a derivada de um produto”, no caso linear, e “integrar dos dois lados”, no separável, são duas maneiras de dizer que a equação, depois de arrumada, é $d\varphi = 0$ .
Isso reorganiza o módulo, mas convém não exagerar a conclusão. A generalidade tem um custo: nas separáveis e lineares o fator integrante é dado por fórmula, enquanto no caso geral é preciso adivinhá-lo. Uma teoria mais geral que não fornece um algoritmo é exatamente a situação descrita na seção anterior — e é a razão de o capítulo terminar em métodos numéricos.

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Fontes deste tópico

Martin Braun. Differential Equations and Their Applications: An Introduction to Applied Mathematics, 4ª ed. Springer-Verlag, 1993.
§1.9 · p. 58-67 (PDF: p. 74–83)
O título da seção — "Exact equations, and why we cannot solve very many differential equations" — já entrega a lição: os métodos elementares cobrem um conjunto pequeno de equações.
fontes/EDO/Differential Equations and The - Braun, Martin_7579.pdf