O que é uma equação diferencial

Ordem, solução e o que significa "resolver" — o vocabulário mínimo antes de qualquer método.

Uma equação algébrica pede um número: $x^2 - 5x + 6 = 0$ pergunta quais valores de $x$ a satisfazem, e a resposta é $\{2, 3\}$ . Uma equação diferencial pede uma função. Ela não fala do valor de $y$ num ponto, e sim de como $y$ varia — e pergunta quais funções variam daquele jeito.

Essa diferença é a razão de todo o curso existir. Quase toda lei que descreve alguma coisa mudando no tempo é escrita como uma relação entre a grandeza e sua taxa de variação, porque é isso que se consegue medir e postular localmente. A lei diz como o sistema muda agora; a equação diferencial é o instrumento que converte isso em como o sistema se comporta ao longo do tempo.

Definições

O adjetivo ordinária distingue esse caso de outro, que fica fora do curso:

Exemplo(Identificando a ordem)#

Equação	Ordem
$y' = xy$	1
$y'' + 4y = 0$	2
$\bigl(y'\bigr)^5 + y = t$	1
$y''' + \bigl(y''\bigr)^2 = 0$	3

A terceira linha é a que costuma enganar. A potência a que a derivada está elevada não tem nada a ver com a ordem: $(y')^5$ é a primeira derivada, elevada ao quinto grau. A ordem só olha quantas vezes se derivou.

O que é uma solução

O detalhe do intervalo não é formalidade. Uma função pode resolver a equação num pedaço da reta e nem sequer estar definida noutro, e a resposta honesta a “qual é a solução?” inclui onde ela vale — o tópico de existência e unicidade volta a esse ponto com um exemplo em que a solução explode em tempo finito.

Verificar é sempre possível; resolver quase nunca

Aqui está a assimetria mais útil do curso inteiro, e vale internalizá-la antes de aprender qualquer método:

Na prática isso significa que você nunca precisa “confiar” numa resposta, sua ou de outro. Substituir na equação decide a questão.

Solução geral, solução particular e a condição inicial

O exemplo acima expõe o padrão: soluções de equações diferenciais vêm em famílias, não sozinhas. Integrar introduz uma constante arbitrária, e uma equação de ordem $n$ costuma produzir $n$ delas.

O que fixa as constantes é informação adicional sobre o estado do sistema:

A família, vista

Nada disso é abstrato. A equação $y' = y/2$ tem solução geral $y = C\exp(t/2)$ , e a figura abaixo é essa família inteira de uma vez. Os tracinhos mostram a inclinação que a equação exige em cada ponto do plano; as curvas são as funções que seguem essas inclinações.

Clique em qualquer ponto para impor uma condição inicial ali e ver qual membro da família ela seleciona.

Passe o cursor para ver a solução por um ponto; clique para fixá-la.Toque no gráfico para fixar a solução que passa pelo ponto.

Três coisas ficam visíveis aí, e todas voltarão depois:

Por cada ponto passa uma curva — é o que o teorema de existência e unicidade vai garantir, e sob quais hipóteses.
A solução constante $y \equiv 0$ é a reta horizontal. Zeros do lado direito são soluções de equilíbrio, e organizam o comportamento das demais.
As curvas nunca se cruzam. Se cruzassem, o ponto de cruzamento teria duas soluções distintas passando por ele.

O que “resolver” vai significar neste curso

Vale deixar dito desde já, porque a palavra muda de sentido ao longo do programa:

Forma fechada explícita — $y = 2\exp(t^2/2)$ . O ideal, e o caso raro.
Forma implícita — uma relação $G(t, y) = C$ que não se isola em $y$ . Ainda é uma resposta legítima; as equações exatas produzem quase sempre deste tipo.
Descrição qualitativa — não a fórmula, mas o comportamento: para onde a solução vai, se oscila, se estabiliza. É o que o módulo de sistemas autônomos faz quando fórmula nenhuma existe.
Aproximação numérica — uma tabela de valores com erro controlado, que é o que se usa quando o problema é real. Tema dos métodos numéricos.

Os quatro são respostas. Só o primeiro é fórmula.

Exercícios

Os dois primeiros são de vocabulário e devem sair rápido. O terceiro é o que separa quem entendeu a definição de solução de quem decorou o procedimento.

básicoordem e classificaçãono espírito de Braun §1.1
Dê a ordem de cada equação e diga se é uma EDO ou uma EDP.
$\text{(a) } \bigl(y''\bigr)^3 + t\,y = \cos t \qquad \text{(b) } \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \qquad \text{(c) } y' + y^4 = 0$
Dica
Ordem conta derivações, não potências. E olhe quantas variáveis a incógnita tem.
Resolução
(a) EDO de ordem 2. A derivada mais alta é $y''$ ; o expoente $3$ é potência, não ordem. A incógnita $y$ depende de $t$ só.
(b) EDP (equação de Laplace), de ordem 2. A incógnita $u$ depende de $x$ e de $y$ , daí as derivadas parciais. Fora do escopo deste curso.
(c) EDO de ordem 1. De novo, $y^4$ é potência da função, não derivada.
básicoverificação de soluçãono espírito de Braun §1.1
Verifique que $\phi(t) = \exp(-t) + \tfrac{1}{2}\exp(t)$ é solução de $y' + y = \exp(t)$ em $\mathbb{R}$ .
Dica
Derive e some. Não tente resolver a equação — só teste a candidata.
Resolução
Derivando termo a termo:
$\phi'(t) = -\exp(-t) + \tfrac{1}{2}\exp(t).$
Somando com $\phi$ :
$\phi'(t) + \phi(t) = \Bigl[-\exp(-t) + \tfrac{1}{2}\exp(t)\Bigr] + \Bigl[\exp(-t) + \tfrac{1}{2}\exp(t)\Bigr].$
Os termos em $\exp(-t)$ se cancelam e os dois meios se somam:
$\phi'(t) + \phi(t) = \exp(t). \quad \checkmark$
Vale para todo $t \in \mathbb{R}$ , logo $\phi$ é solução em toda a reta.
Note que não foi preciso saber de onde $\phi$ veio.
intermediárioo intervalo faz parte da respostano espírito de Braun §1.1
Considere $y = \dfrac{1}{t - 3}$ .
Verifique que ela satisfaz $y' = -y^2$ . Em seguida responda: essa expressão define uma solução ou duas?
Dica
Onde a função está definida? A definição de solução exige um intervalo — e $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ não é um intervalo.
Resolução
Verificação. Derivando,
$y' = -\frac{1}{(t-3)^2}, \qquad -y^2 = -\left(\frac{1}{t-3}\right)^2 = -\frac{1}{(t-3)^2}.$
São iguais onde ambos existem, isto é, para todo $t \neq 3$ . ✓
A pergunta de verdade. A expressão define duas soluções distintas, não uma.
A definição exige que a solução viva num intervalo. O conjunto $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ não é um intervalo: é a união de dois, $(-\infty, 3)$ e $(3, +\infty)$ . Em cada um deles a fórmula define uma solução, e elas não se comunicam — nenhuma informação atravessa $t = 3$ , onde a função nem existe.
Por que isso importa. Um PVI com $y(0) = -1/3$ seleciona a solução em $(-\infty, 3)$ , e essa solução deixa de existir quando $t \to 3^-$ . O intervalo máximo de existência é $(-\infty, 3)$ , e não a reta toda.
Nada na equação $y' = -y^2$ avisa que isso vai acontecer: o lado direito é um polinômio, definido e suave em todo o plano. A singularidade é da solução, não da equação — e depende da condição inicial escolhida, o que nenhuma inspeção da equação revela. Essa é exatamente a distinção que existência e unicidade formaliza.

O progresso fica salvo neste navegador, e só muda quando você aperta.

Depois disto

Equações lineares de primeira ordemO fator integrante transforma um lado inteiro da equação na derivada de um produto — e aí basta integrar.
Equações separáveisO método mais direto de resolução de primeira ordem — e o primeiro lugar onde se perde solução sem perceber.

Fontes deste tópico

Martin Braun. Differential Equations and Their Applications: An Introduction to Applied Mathematics, 4ª ed. Springer-Verlag, 1993.
§1.1 · p. 1-2 (PDF: p. 17–18)
Define ordem, solução e o programa do livro. Duas páginas, mas fixam o vocabulário usado o resto do curso.
fontes/EDO/Differential Equations and The - Braun, Martin_7579.pdf